華人攻破上世紀數學難題：求一張白紙上的所有線條上共有多少灰塵

想象你面前有一張巨大的白紙，上面畫了很多線，每條都指向不同的方向。

突然一陣風吹過，一些灰塵落在紙上。

此時一位樂於助人的數學家出現，告訴你某一條線上有多少灰塵。

你能根據這一信息，算出所有線條上總共有多少灰塵嗎？

以上這個數學難題來自弗斯滕伯格集合猜想（the Furstenberg set conjecture）。

它於1999年誕生，至今已有24個年頭——

儘管在數學史上還算年輕，但它看起來也不簡單。

不過，好消息：

普林斯頓二年級研究生Kevin Ren和紐約大學王虹教授已經將它完整證明出來了。

並且有意思的是，兩人此前素未謀面，是在各自的研究中“不謀而合”地想到了同一方法，然後才合作發表了這篇成果。

華人師生解決誕生於1999年的數學猜想

要解決這個猜想，必須得先掌握豪斯多夫維數的概念。

通俗的來說，最接近這個想法的數學模型是拓撲維度。

對於日常物體，比如直線、長方形，它們的拓撲維度（以及豪斯多夫維數）必然是整數（分別爲1、2）。

但是這個概念在描述某些不規則的集合比如分形的時候遇到了困難，而豪斯多夫維數則是一個描述這類集合的恰當工具。

在這些情況下，它可能爲一個非整的有理數或者物理數。

比如科赫曲線（下圖爲它的4次迭代過程），每一部分都由4個跟它自身比例爲1:3的形狀相同的線組成，它的豪斯多夫維數就約等於1.26。

從某種意義上來說，這個數字意味着它比直線“大”，但又比二維物體要小。

說回開頭的題目。

最早提出該問題的其實是加州理工學院的數學家托馬斯·沃爾夫(Thomas Wolff)。

他同時給出了最小灰塵量的猜測。

根據題目中那位數學家給你的數字，我們能得出一條特定線條上看到的所有灰塵的最小豪斯多夫維數。

我們將它命名爲s。

沃爾夫證明，所有灰塵的豪斯多夫維數必須至少爲s + ½或2s（以較大者爲準）。

不過他表示他只是提供了證據，這個結論不確定是誰先得出的。

而他本人懷疑最終極限可能比該結果還要高：

至少爲(3s+1)/2。

這個懷疑又被數學界命名爲“弗斯滕伯格猜想”。

2020年，還在MIT讀本科的Kevin Ren首次接觸到該猜想。

他在閱讀了數學家讓·布爾幹(Jean Bourgain)的論文後，還是一頭霧水。

（該數學家於2003年在一個特殊例子上取得了一些進展。）

不過Kevin Ren一直沒有放棄這個問題。

今年6月，他發現芬蘭于韋斯屈萊大學發表的一篇新論文又證明了該猜想的一個特例。

加上2019年MIT數學家拉里·古斯(Larry Guth）與人合著的一篇論文中證明的特例，這讓他覺得：

如果以某種方式將這兩種特例結合起來，是不是能給出一個一般性的證明？

具體來看，2019年的研究證明了一個猜想，即我們把一些從遠處看間隔很遠的線拉近來看，其實會呈現“密集的一簇”的形式（a dense bundle）。

而今年6月的論文則給出了相反的情況：

規則的線條無論放大或縮小多少，其維度看起來都是一樣的。

Kevin Ren接下來的三週都在思考這個問題，在做家務時他的腦子也在不斷想象着“穿過點的線組”。

很快，他的靈感來了。

他意識到，如果我們放大或縮小一組線條，它的整體看起來只能要麼是亂亂的一團（clumpy），要麼是規則的一簇（regular）。

基於此，他就能夠拼湊出一個對無論什麼樣的集合都有效的證明。

激動的Kevin Ren趕緊聯繫拉里·古斯（他在MIT指導過Kevin Ren），沒想到古斯告訴他：

他2019年那篇論文的合著者之一、紐約大學王虹教授也證明了。

不過神奇的是，兩人聯繫上後才發現：

他們的想法可謂不謀而合，用到的策略是那麼驚人地相似。

既然如此，他們選擇合併各自的論點，共著一篇論文發表。

最後，來自萊斯大學的Nets Katz教授（也參與了該猜想的研究）評價稱：

作者介紹

Kevin Ren，普林斯頓研二在讀。

研究方向爲傅立葉分析及其在幾何測度理論和度量幾何問題中的應用。

他本科（2018-2022）來自MIT，獲得了數學和物理學位。

王虹，2019年從MIT博士畢業。

目前是紐約大學科朗研究所副教授，此前在UCLA擔任了兩年助理教授。

她的研究方向同爲傅立葉分析及相關問題。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2308.08819參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-cross-the-line-to-get-to-the-point-20230925/