170年前的數學難題終於被攻破，但解法卻讓數學家們崩潰了

四種顏色就夠了：一個數學故事

作者：[英] 羅賓·威爾遜（Robin Wilson）

譯者：何生

四色定理、哥德巴赫猜想、費馬大定理並稱“近代三大數學問題之一”，而其中四色問題貌似最爲簡單，卻將數學研究引向了最大的不可知。動手畫一畫，誰都能理解這個問題在說什麼。在百年歲月裡，從天文學家、植物學家到高爾夫球手，衆多數學愛好者以及當時幾乎每一位偉大家，都曾思考過四色問題。

但誰也沒料到，最終在計算機的幫助下，人們纔得到一個完整的證明……這個問題有這麼難嗎？

這是一個關於色彩和地圖的故事，一個關於證明和解決問題的故事，一個關於數學及其無窮魅力的故事。

四色問題的定義很簡單，它與地圖着色有關。在爲地圖着色時，我們很自然地希望對鄰接的國家使用不同的顏色，以便將它們區分開。那麼，對於整幅地圖而言，我們需要幾種顏色呢？乍一看，人們也許以爲，地圖越複雜，需要的顏色就會越多。然而出人意料的是，事實並非如此。對於任意地圖而言，似乎至多隻需要四種顏色就夠了。於是，人們便引出了四色問題：

在鄰接的國家使用不同顏色的前提下，所有地圖都只需要至多四種顏色嗎？

破解任何謎題，比如拼圖遊戲或縱橫填字遊戲，都能給人們帶來純粹的快樂，讓人們放鬆。同樣，四色問題也能讓人成日地沉浸在喜悅（或沮喪）之中。從某種意義上來說，四色問題算是一種挑戰，就像登山運動能給攀登者帶來突破身體極限的愉悅一樣，這個問題的定義如此簡單，但又顯然難以征服，它也爲數學家帶來了極爲複雜的智力挑戰。

若想“證明”四色定理，就需要說明所有地圖，無論是真實世界的地理地圖，還是憑個人喜好精心繪製的假地圖，都只需要四種顏色。

如果命題不成立，人們就得拿出一幅需要五種甚至更多顏色的地圖來證明——只需要一幅就行。

然而，如果命題成立，那就必須對所有可能的地圖都進行驗證：即便已經驗證了億萬幅地圖也是不夠的，因爲或許就有那麼一幅沒有被驗證過的地圖，它在排列區域時的確需要五種甚至更多顏色。

在其他科學領域裡，若想證明給定的猜想，只要在滿足基本假設的前提下，絕大多數的實驗結果符合預期就可以了；然而數學證明必須是完整、精確的，不允許有任何例外。爲了證明四色定理，人們必須找到一種可以應對所有地圖的通用證明方法，想發現這樣的方法就需要大力發展理論體系。

四色問題最早是由弗朗西斯·格思裡（Francis Guthrie）在約170 年前提出的。但是，人們花了 100 多年，爲地圖着色，發展必要的理論體系，才終於有了一個確定的答案：對所有地圖來說，四種顏色就夠了。在此期間，甚至還留下了艱深的哲學問題。

沃爾夫岡·哈肯（Wolfgang Haken）和肯尼思·阿佩爾（Kenneth Appel）在 1976 年提出了最終解決方法，該方法需要超過 1000 小時的計算機計算時間，這讓人既感到歡欣鼓舞又覺得有一絲沮喪。值得一提的是，數學家至今仍然在爭論：如果一個問題的解不能直接用人工檢驗，那麼能否認爲它已經被解決了？

在下圖中，已經有三個國家塗上了顏色。我們如何才能用紅、藍、綠、黃這四種顏色爲整幅地圖着色呢？

《四種顏色就夠了：一個數學故事》

作者：[英] 羅賓·威爾遜（Robin Wilson）

譯者：何生

一個數學問題是怎樣誕生，又會被怎樣解決？

數學家們如何思考、如何探索、如何競爭與合作？

“證明”是什麼？數學思維又是什麼？

人類數學家要讓位給計算機了嗎？