與愛因斯坦、馮·諾伊曼較勁

1982年，約翰·貝爾與他著名的貝爾不等式。圖源：CERN

導讀：

在量子力學的發展中，英國北愛爾蘭物理學家約翰·貝爾做出了極爲重要的貢獻。他在1964年對愛因斯坦等人提出的EPR佯謬，精心設計了一個由可觀測物理量構成的不等式，即“貝爾定理”，引出一系列物理實驗，證明量子糾纏的確爲真，改變了我們對量子現象的認識。

後來將貝爾不等式進行拓展和完善的美國物理學家四人小組（CHSH）之一的物理學家阿伯納·西摩尼（Abner Shimony）認爲，貝爾能夠重拾 EPR 佯謬，證明出能使非定域性跟量子論融爲一體的定理，有其必然性。

"貝爾是個非常特別的人，他嚴謹好學，意志頑強，而且敢作敢當 。他的性格比別人更堅強。他敢跟本世紀最著名的數學家約翰·馮·諾依曼較勁，還毫不猶豫地指出馮·諾依曼的預設是錯的。然後又跟愛因斯坦較上了勁。”西蒙尼說。

阿米爾·艾克塞爾 ｜ 撰文

莊星來｜ 翻譯

約翰·貝爾的定理

“那麼，在我看來，量子論的真正問題就在這裡：清晰的表達式和基本的相對性之間顯然有着與生俱來的矛盾。要調和量子論和相對論，單靠技術進步也許還不夠，可能還需要概念上的徹底更新。”

——約翰·貝爾

約翰·斯圖爾特·貝爾 (John Stewart Bell, 1928-1990)1928 年出生於北愛爾蘭貝爾法斯特的一個工人階級家庭，家裡人都以打鐵和種地爲生。他長着一頭紅髮，皮膚上斑點很多，爲人溫和有禮，喜歡自省。他父親約翰和母親安妮，都出身於長期定 居北愛爾蘭的家族。貝爾的中間名字“斯圖爾特”是他母親的蘇格蘭孃家姓氏，在上大學以前，家人一直管他叫“斯圖爾特”。貝爾一家人都是聖公會信徒(信仰愛爾蘭國教)，但是貝爾在與人交往中往往不顧宗教和種族的限制，他的許多朋友是信仰天主教的。貝爾的父母都不是有錢人，但他們非常重視教育，辛辛苦苦省下錢來供他上學，而家中其他的孩子很早就輟學務工了。貝爾的兩個弟弟後來都自學成才，一個當了教授，另一個做了成功的生意人。

貝爾 11 歲時便博覽羣書，決心成爲科學家。他的中學入學考試成績優異，可惜家裡經濟拮据，無法供他入讀重理科的學校。於是貝爾只好上了貝爾法斯特的技工學校，一邊學習文化課，一邊學習實用技能。1944 年，16 歲的貝爾中學畢業，隨即應聘到貝爾法斯特的女王大學(Queen’s University)擔任物理系的技術助理，在卡爾·艾米留斯(Karl Emeleus)手下做事。艾米留斯非常欣賞貝爾的科學稟賦，不但借書給他看，還允許他在被正式錄取前就旁聽一年級的課程。

貝爾當了一年技術員，便被大學錄取爲正式學生，還得到了一筆小小的獎學金，這下他終於可以攻讀物理學位了。1948 年，貝爾大學畢業，取得了實驗物理學學位，他在學校又待了一年，取得了數學物理學的第二學位。貝爾有幸師從物理學家保羅·埃瓦爾德(Paul Ewald)，埃瓦爾德很有才華，從德國流亡到北愛爾蘭，是X-射線結晶學領域的領軍人物。貝爾的物理成績非常優秀，但他不滿意大學裡教授的量子論。他那好學深思的頭腦已經想到，量子論的某些神秘的方面在課堂上沒有得到解釋。當時的他並不知道那些未經解釋的問題其實無人能懂，更沒有想到那些問題的答案日後將由他自己去發現。

貝爾在貝爾法斯特女王大學的一間物理實驗室工作了一段時間後，進了伯明翰大學，並於1956年取得了物理學博士學位。他的研究方向是核物理和量子場論，拿到學位後在英國原子能管理局工作了好幾年。

貝爾在英國的馬爾文學院研究加速器物理學期間，認識了瑪麗·羅斯(Mary Ross)，她也是加速器物理學專家。兩人於1954年結爲伉儷，追求共同的事業，常常攜手研究同樣的課題。他們都取得了博士學位（羅斯在格拉斯哥大學拿到數學物理學博士學位），一起在哈威爾（Harwell）研究中心參與英國的原子能建設。幾年後，兩人漸漸對原子能研究中心的發展方向失去了興趣，於是雙雙辭職，接受了日內瓦的歐洲原子能研究中心(CERN)的非終身職位。貝爾在理論部門，羅斯則加入了加速器研究小組。

認識貝爾的人無不被其才學、誠實和謙遜打動。貝爾發表了很多論文，還寫了很多重要的內部備忘錄，認識他的人都知道他屬於那個時代最有才智的一羣人。貝爾有着三個不同領域的研究：一是粒子加速器研究；二是他在歐洲原子能研究中心從事的理論粒子物理學研究；三是量子力學基本概念的研究——這一方面的成就最終使他名聲大振，影響遠遠超出了物理學界。在他參加的各種研討會上，三個領域的研究者都會在各自相關的會議上聚首，但不同領域的與會者彼此卻不認識。顯然，貝爾有意把三個研究方向分別開來，所以其中每一個學科領域的研究者都不知道他同時也在從事另外兩個領域的研究。

約翰·貝爾在歐洲原子能研究中心的辦公時間全部用於研究理論粒子物理學和加速器設計，因此他只能利用在家休息時間來從事他的“業餘愛好”——探索量子論的基本問題。1963 年，他休了一年假，離開歐洲原子能研究中心先後去了斯坦福大學、威斯康星大學和布蘭德斯大學。貝爾就是在這一年旅居國外的訪學過程中真正開始探索量子論的核心問題的。1964 年回到歐洲原子能研究中心後，他還在繼續研究量子問題，不過很小心地將量子論研究跟自己在歐洲原子能研究中心的“主業”——粒子和加速器研究分別開來，因爲他在研究中早就發現量子論中有許多暗礁險灘，很難逾越。在美國休假時，貝爾的研究有了突破，他發現約翰·馮·諾依曼的量子論假設中有一處錯誤，但是，用貝爾自己的話說，“我抽身離開了。”

沒有人懷疑過約翰·馮·諾依曼的才華——他是第一流的數學家，甚至可以說是天才。在數學方面，貝爾跟馮·諾依曼也沒有什麼爭議。問題是出在數學和物理學的交界處。馮·諾依曼在他那本討論量子論基本原理的奠基之作中有一個重要預設，後面的一系列推論都基於此；約翰·貝爾認爲這一預設從物理學角度看是不成立的。馮·諾依曼在他的量子論著作裡預設幾個可觀察的量之和的預期值等於其中每一個可觀察的量的預期值之和。[用數學語言表達就是：若 A，B，C，......爲可觀察量，E()爲預期算子，馮·諾依曼認爲很自然可以得出下列等式：E(A + B + C + ......)= E(A)+ E(B)+ E(C)+ ...... ]約翰·貝爾知道這個預設貌似合理，但是如果其中的可觀察量 A，B，C，......是用不一定符合交換律的算子來表達，那麼此預設的物理意義就說不通了。用不太精確的非數學語言來說，馮·諾依曼似乎是忽略了不確定性原理及其推論，因爲根據不確定性原理，不遵守交換律的算子是不能同時準確測知的。

約翰·貝爾寫成了討論量子論基本原理的第一篇論文，並於1966 年發表。以發表時間算，這篇論文是排在第二（另有一篇相 關的論文寫作時間較晚，卻先行發表了；稍後將作介紹）。論文的題目是《論量子力學的隱變量問題》(“On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics”)，貝爾在文中指出了馮·諾依曼書中的錯誤，以及姚赫(Jauch)與派倫(Piron)聯名發表的論文與安德魯·格里森的(Andrew Gleason)論文中類似的問題。

格里森是與馮·諾依曼齊名的數學家，哈佛大學教授，因解出希爾伯特的一道著名的難題而成名。1957年格里森寫了一篇論文，討論希爾伯特空間的投影算子。貝爾並不知道，格里森的定理是與量子力學中的隱變量問題有關的。約瑟夫·姚赫曾在日內瓦生活過一段時間，當時貝爾夫婦也在日內瓦。因爲姚赫在研究格里森的隱變量論文，貝爾才注意到格里森的定理。格里森定理是一般性的定理，並非旨在解決量子論問題——因爲證明此定理的是一個只關注數學而不關心物理學的純數學家。雖然如此，該定理引出的一個引人注目的推論卻具有重要的量子力學意義。這條出自格里森定理的推論可以說明，任何一個可以用三維以上的希爾伯特空間來表示的量子力學系統都不可能呈現無彌散態。貝爾注意到，如果格里森的假設是不充分的，那麼一個比較普遍的隱變量理論就有可能存在，這類理論就是今天我們所說的“語境”(“Contextual”)隱變量理論。如果是這樣的話，把格里森定理用在 EPR 佯謬中就會出現漏洞。

無彌散狀態(dispersion-free states)是指具有精確的測量值的狀態，其中沒有變化，沒有彌散，沒有不確定性。如果無彌散狀態果真存在，那麼其精確性必然來自某些被忽略的隱變量，因爲量子論包含了不確定性原理。

貝爾不明白格里森是如何由其定理推出這個結論的，所以他就用自己的方法證明了除了二維的希爾伯特空間外（這種情況無關緊要），並不存在無彌散態，因此隱變量不存在。另外，針對馮·諾依曼的觀點，貝爾證明了馮·諾依曼所用的預設是不恰當的，從而其結論也是有問題的。貝爾又一次提出了量子論是否存在隱變量的問題，接着他更進一步，瞄準了 EPR 問題和量子糾纏。

貝爾讀過愛因斯坦、波多斯基、羅森三人於1935年聯名發表的論文，該文對量子論提出了挑戰，事情已經過去 30 年了。玻爾等人對 EPR 已做出迴應，物理學界幾乎人人都相信問題已經解決，愛因斯坦的觀點是錯的。但是貝爾不這麼看。

約翰·貝爾發現了當年 EPR 爭論中的一個重要事實：他“知道”愛因斯坦等人其實是對的。衆人皆謂“EPR 佯謬”，但其實它根本不是什麼佯謬。愛因斯坦等人實際上是發現了一些關係到我們對宇宙的理解的重要問題，但問題不在於量子論不完備，而在於量子力學跟愛因斯坦所堅信的實在論和定域論無法並存。如果量子論是正確的，定域論就不正確；如果我們堅持定域論，那麼量子論對微觀世界的描述就會出問題。貝爾將這一結論表述爲一個深奧的數學定理，由不等式構成。他指出，如果實驗結果違背了他的不等式，那麼就可以證明量子力學是正確的，而愛因斯坦對定域實在性的常識性的預設是不正確的。如果實驗結果符合他的不等式，那麼就可以證明量子論是錯誤的，而愛因斯坦所持的定域性觀點是正確的。 更準確地說，實驗結果可能既違背貝爾不等式，又違背量子力學，但是絕不可能既符合貝爾不等式，又符合量子力學對某些量子態的描述。

約翰·貝爾寫了兩篇具有開創性的論文。第一篇論文分析了馮·諾依曼等人的觀點，他們都討論了隱變量是否存在的問題，即是否存在愛因斯坦等人所說的那種能使量子論變“完備”的隱變量。 約翰·貝爾在論文中首先證明了由馮·諾依曼等人提出的、用於論證隱變量不存在的定理都是不嚴密的。接着貝爾證明了自己的定理，真正說明了隱變量是不存在的。 由於發表時間的延誤，貝爾的這篇重要論文 1966 年方纔面世，出現在他撰寫的第二篇論文之後。他的第二篇論文發表於 1964 年，題目叫《論愛因斯坦-波多斯基-羅森佯謬》，此文提出了影響深遠的“貝爾定理”，它改變了我們對量子現象的認識。

貝爾採用了EPR佯謬的一種特殊形式，也就是經戴維·波姆(David Bohm)簡化改良過的EPR實驗。他考察了從一個粒子發出的處於單態的兩個相互糾纏的 1/2 自旋粒子，分析這個實驗會產生什麼結果。

貝爾在文中說，EPR 佯謬已經發展成爲論證量子論不完備、必須補充其他變量的依據。EPR 認爲，有了那些額外的變量，量子力學便可找回那失去的因果概念和定域性概念。貝爾在一條註解中引用了愛因斯坦的話：

但我認爲，我們應當牢牢抓住一個預設：如果系統 S1 和系統 S2 相隔甚遠，系統 S2 的真實狀況是不會因系統 S1 受到擾動而改變的。

貝爾表示，他要以數學的方法來說明愛因斯坦的因果觀和定域觀與量子力學的表述是不能共存的。 他進而又說，正是定域性要求——即一個系統的狀態不應受到與之相距甚遠、曾經發生相互作用的系統狀態的影響——造成了根本的困難。貝爾的論文提出了一個選擇定理(theorem of alternatives)：或者定域隱變量是正確的，或者量子力學是正確的，但兩者不可能都正確。 如果量子力學是描述微觀世界的正確理論，那麼非定域性(non-locality)就是微觀世界的一個重要特徵。

貝爾首先假設量子力學是可以由某種隱變量結構來補足的，就像愛因斯坦所要求的那樣。那麼，這些隱變量必定帶有量子力學所缺少的信息。實驗中的兩個粒子帶有一個指令集(instruction set)， 會提前告訴粒子在不同情況下應當怎樣行動，也就是說，讓粒子知道每次選定的測量軸是什麼方向。在這種假設下，貝爾推出了一個矛盾的結果，可以說明量子力學是不可能用隱變量來補充的。貝爾定理可以用一個不等式來表達，不等式中的 S 表示兩名實驗員愛麗絲和鮑勃的測量結果的總和。

貝爾不等式爲：-2 < S < 2

該不等式可以表示爲下圖。

根據貝爾定理，如果實驗結果不符合上述不等式(即在真實的糾纏粒子實驗中愛麗絲和鮑勃的測量結果的總和大於2或小於-2)，那麼這個實驗就可以證明非定域性的存在，也就是說其中一個粒子的狀況確實可以同時影響另一個粒子的狀況，無論兩個粒子之間的距離有多麼遙遠。現在就等實驗家們去尋找這樣的實驗結果了。

不過，這裡還有一個問題。貝爾由定域性預設推導他的不等式，是利用了一個特殊的假設。他假設隱變量理論完全符合量子力學對成對單態粒子的預測：無論自旋軸取什麼方向，對於同一條自旋軸，粒子 1 的自旋總是與粒子 2 相反。因此，如果實驗值與貝爾不等式數值的量子力學預測相符，這個發現仍無法說明定域性預設是錯誤的，除非能夠先找到證據證明貝爾所用的特殊假設是正確的；這樣的證據在實踐中很難找到。這個問題最終導致了實驗測試上的障礙。以後，克勞瑟 (Clauser)、 霍恩 (Horne)、西摩尼(Shimony)將會對貝爾定理進行拓展和完善，從而解決這一技術問題，使貝爾不等式能用於真實的物理實驗。

不管怎麼說，貝爾定理的結論就是：隱變量假設和定域性假設在量子論中都不能成立，量子論與這兩種假設是不能共存的。因此，貝爾定理是物理學上非常有力的理論成果。

有一回西摩尼問我：“你可知道爲什麼貝爾能夠重拾 EPR 佯謬，又證明出能使非定域性跟量子論融爲一體的定理？”接着他說，“認識約翰·貝爾的人都知道，只有他可以，換了誰也不能夠。貝爾是個非常特別的人，他嚴謹好學，意志頑強，而且敢作敢當。 他的性格比別人更堅強。他敢跟本世紀最著名的數學家約翰·馮·諾依曼較勁，還毫不猶豫地指出馮·諾依曼的預設是錯的。然後又跟愛因斯坦較上了勁。 ”

愛因斯坦等人認爲，空間距離遙遠的系統之間的糾纏態是令人難以相信的。一個地方發生的情況怎麼可能同時影響到遠在天邊的另一個地方的狀況？約翰·貝爾卻能夠超越愛因斯坦的直覺，建立一個偉大的定理，從而引出一系列物理實驗，使量子糾纏終於被確立爲真實的現象。 貝爾原本是支持愛因斯坦的定域性觀點的，但他要借實驗來證明這個觀點究竟是對是錯。

約翰·貝爾1990年因腦出血突然去世，享年 62 歲。他的死是物理學界的一個重大損失。貝爾在他最後的日子裡仍然積極從事研究工作，不斷地撰寫論文，開課講學，探討量子力學、EPR 假想實驗以及他自己的定理。三十多年來，貝爾定理一直受到物理學界的關注；事實上，今天的物理學家們仍在不斷思考貝爾定理對時空本質以及量子基本原理的深刻啓示。關於貝爾定理的種種實驗幾乎無一例外地提供了無可辯駁的證據，表明量子論是正確的，量子糾纏和非定域性都是真實存在的。

本文摘自《糾纏態：物理世界第一謎》（【美】阿米爾·艾克塞爾 著，莊星來 譯，上海科學技術文獻出版社2016年7月出版），《賽先生》獲授權發佈。

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