黃金螺旋：誤解的起源

在所有關於黃金比例的無憑無據的說法中，最令人費解的是黃金矩形決定了鸚鵡螺殼的比例，因爲這顯然是錯誤的。鑑於在互聯網上可以找到大量的錯誤信息，各種各樣的想法可能是不可避免的，其中一些錯誤並不非常明顯，但令人驚訝的是，最先出現的謬誤可能要追溯到19世紀，後來又不斷出現一些有趣的近似構造方法，直到今天越錯越離譜。

介紹

關於藝術、設計和自然中是否存在黃金比例的爭論不太可能在短期內得到解決。在某些情況下，它的存在是無可爭議的（例如，在一些藝術家的作品中，藝術家聲稱自己故意包含了黃金比例，比如任何基於正五邊形的設計，等等），但有爭議的例子的不計其數，並繼續增加，無窮無盡。可能沒有什麼新東西可以改變任何一個主角的觀點，但一些關於黃金比例和對數螺旋線的斷言繼續不加批判地重複，顯然是不正確的。即使是最堅定的狂熱者也承認這一點，一旦他們看了[1]的證據（雖然，他們通常會改變立場），使這些想法的持久性特別令人困惑。

可悲的是，"鸚鵡螺殼的螺旋形狀通過一個神聖比例逐漸變大"的說法只在流行的黃金比例Φ的慶祝活動中才會出現，[2]但通常謹慎的作者[4]在教育書籍[3]中的類似論斷令人擔憂。要知道，這種說法並不正確。

這些反常現象在20世紀初幾本有影響力的書的背景下變得更加容易理解，它們的故事爲思想史提供了一個有啓發性的插曲。關鍵人物是西奧多·庫克（Theodore Cook），他寫於1903年的書《自然與藝術中的螺旋》（Spirals in Nature and Art）一書，代表了一個分水嶺。在這本書出版之前，自然形態當然被設計師所使用[6]，但對建築和自然形態學的數學方面的興趣主要限於學術界。此後，E.Ray Lankester在其序言中提到的"一個更有限的研究方法可能會阻止的推測性概括的過程"是一個持續增長的潮流的開始。直到我們這個時代。這本書沒有提到黃金分割率或斐波那契數（即使簡要地考慮了植物軸），至少在英語世界裡，人們對黃金分割率的興趣可能直到10年後出現在庫克的《生命的曲線》（The Curves of Life）中才開始，儘管齊辛（Zeising）[7]在半個世紀前就推廣了黃金分割。

愛奧尼亞渦旋

比例一直是建築中的一個重要考慮因素。羅馬建築師維特魯威在他的第一本書第二章（《建築所依賴的那些東西》）中開始說："建築取決於適合......"，他繼續將其定義爲："根據不同的用途調整各部分的大小，並要求適當考慮結構的一般比例"。[8] 當他談到細節時（在第三和第四冊），他的比例總是整數比例。後來的作家追隨維特魯威，也認識到在古典建築中故意引入了輕微的變化，以補償視覺失真。J.Pennethorne對這些修正特別感興趣，他很快就被F.C.Penrose加入，他對古典廢墟進行了一系列全面的詳細測量，他們之間發表了一系列重要的論文和書籍。

Pennethorne[9]包括對愛奧尼亞渦旋的詳細考慮，並跟隨早期的作者設計了一種建築方法，確定了資本的關鍵尺寸和其柱子的其他部分之間的比例。他評論說（第135頁）

螺旋線的概念和其他曲線的概念一樣，是由我們在自然界中發現的許多形式所暗示的：它也可以從圓錐體中得到，方法是設想一條從底端到頂點的連續線繞着它。在古代幾何學中，我們有阿基米德螺旋線，希臘裝飾品中的一些螺旋線也許會被發現是這種形式的曲線的真實例子；但在愛奧尼亞式大寫字母的例子中，維特魯威明確指出，螺旋線是由圓組成的，從現有的希臘渦旋上提取的描圖清楚地表明情況就是這樣。

他首先在一系列矩形的基礎上構建了一個螺旋形的直線（圖1），這些矩形通過整數比率連接，與完整的柱子的比率有關，然後需要找到圓弧的中心。他描述了這給他帶來的一些困難，直到爲該書繪製圖版的約翰·羅賓遜發現了他所描述的方法。它需要在前三個矩形的邊上進行線性遞增（圖2），因此前三個象限近似於阿基米德螺旋。每個嵌套的矩形都要重複這個結構，它們之間有固定的比例關係，所以他的渦旋，經過特別設計，在美學上是可以接受的，相當於一個由（近似）阿基米德螺旋的弧線近似的對數螺旋。

圖1：Pennethorne的矩形螺旋

圖2：他的螺旋由圓弧構成

圖3：由圓錐體繪製的渦旋結構

使用圓錐體的構造（圖3）[10]將產生一個阿基米德螺旋的漸開線的近似值，因爲生成半徑偏離水平線時引入的誤差很小。班尼斯特·弗萊徹（Banister Fletcher）（圖4）[11]通過使用海螺殼而不是圓錐體來改進該方法。弗萊徹沒有討論他的創新，但其最明顯的優點是，棉線被固定在殼周圍的凹槽中，所以它不會滑動。此外，由於凹槽是對應於對數螺旋的螺旋線，而螺旋線是其漸開線的近似值，它本身就是一個對數螺旋。

圖4：班尼斯特·弗萊徹構造螺旋的方法

自然與藝術中的螺旋[12]

西奧多·安德烈亞·庫克（Theodore Andrea Cook）是一位興趣廣泛的記者和體育家。[13] 在《自然與藝術中的螺旋》於1903年出版時，他已經出版過關於法國城堡的書籍，[14,15] 他的主要目的是確定達芬奇是位於圖蘭的布洛瓦城堡的太陽拱門的設計師。他在早期的作品中已經提出了這個建議，並指出其與貝殼結構的相似性。正如書名所示，《螺旋》通過考慮自然和藝術中的各種螺旋，對這一想法進行了擴展。再次引用序言中的話："對自然界中的螺旋形的研究本身就是一個仍然非常不完整的科學探索領域，我相信我的想法是正確的，無論是在數學還是在建築方面，對這個有趣的主題都還沒有最後的結論。" 庫克的工作對大衆對螺旋形的興趣產生了深遠的影響，而且，更普遍的是對科學和藝術中的形態學產生了影響。

《螺旋》在第70-72頁涉及到丘奇對葉狀序的解釋[16]，在第122-126頁的"鸚鵡螺"一章中，他引用了約翰·萊斯利的[17]和H·莫斯利關於貝殼和對數螺旋的[18]研究。本書結尾(180-190頁)對"……美的微妙而又難以捉摸的原因……"特別是關於對數螺旋和它可能存在的可能性，"……對所有形式的增長都至關重要……"庫克的主要觀點是，不規則和微妙的變化對美至關重要，他引用弗萊徹繪製愛奧尼亞渦旋的方法作爲進一步的例子，因爲它使用了一個有機模板，一個海螺殼，這必然是不規則的。

生命的曲線[19]

在庫克的下一本關於螺旋的書《生命的曲線》（1914年）中，他大大延伸了他早期的工作，並廣泛地借鑑了其他人的貢獻，特別是許多已經發表在《領域》（The Field）上的文章，他從1910年起就編輯了這本書。在他的序言中（幾乎可以肯定是最後寫的），他說："現在在這本書中提出的增長公式被稱爲φ螺旋，或菲迪亞斯螺旋，這是馬克·巴爾先生和威廉·斯金先生從一個古老的原理中研究出來的新的數學概念。"他的意思在最後一章（第419頁）中說得很清楚。他在《領域》上發表了丘奇的植物軸理論後，威廉·斯金曾寫信給他，對黃金分割進行了解釋，包括馬克·巴爾建議將其稱爲φ比例，"......部分原因是它對那些不斷與π戰鬥的人來說有一個熟悉的聲音[表示英語發音，fie，而不是美國人的fee]......部分原因是它是菲迪亞斯這個名字的第一個字母......"。他繼續考慮他所謂的菲迪亞斯螺旋，其中，"......對數螺旋的半徑vectores[從極點到螺旋的連續交叉點的測量]爲φ比例，其結果不僅是一個具有奇異的令人愉快的特性的螺旋，而且還有一個特點，即在任何半徑上，螺旋的兩個連續的曲線之間的距離之和等於沿同一半徑到後續曲線的距離（見圖389[圖5]）。這樣的φ螺旋線與......從貝殼上展開產生的螺旋線非常相似。"

圖5：庫克的通用例子(左)與他的菲狄亞斯螺旋(右)的比較

從下面的內容可以看出，庫克已經被說服了，可能是被Schooling說服了，黃金比例是許多藝術作品的基礎，但同樣明顯的是，他在鸚鵡螺的殼中沒有看到它。他評論說："......這並不意味着藝術家有任何先入爲主的想法，在他的構圖中使用φ的比例，就像鸚鵡螺有任何有意識的計劃在它的殼中發展出某種螺旋形。"這是他的比喻：美麗的藝術中的比例對於φ來說，就像鸚鵡螺的殼對於對數螺旋一樣，但他所謂的φ螺線與鸚鵡螺完全不同。

遺憾的是，Schooling在附錄中的敘述是這樣開始的："與庫克先生對生長和美的原理的探究有關的主要興趣，一方面是它與斐波那契數列和植物軸的聯繫，另一方面是與φ螺旋的聯繫，該螺旋的插圖發表在《領域》上，它對自然和藝術中的許多螺旋形態提供了一些啓發（見圖385）。" 庫克的φ螺旋圖是在他的圖389中說明的，而不是圖385，後者是一般的對數螺旋。Schooling可能是第一個誤解φ和對數螺旋之間關係的人，但這不太可能，因爲他是一個有數學背景的精算師。更有可能的是，亨特利（Huntley）[20]後來將他關於黃金分割率的書的最後一章專門用於對數螺旋，以及使用鸚鵡螺殼作爲封面，從而加重了一些混淆，這是由印刷錯誤造成的。

《論生長與形式》[21]

達西·湯普森（D'Arcy Thompson）在篇幅近800頁的《論生長與形式》(On Growth and Form)一書中，用了超過150頁的篇幅對螺旋進行了解讀。這本書是在《螺旋》出版3年後出版的，內容與庫克相同，但視角不同。當自然選擇被用來解釋任何生物現象時，他認爲有些形態是由純粹的物理原因直接導致的。特別是對數螺旋，螺旋增長的機制的必然結果：它是通過物質（如角、貝殼等）在原有的基礎上不斷累積而產生的，而金融家Schooling很可能對與複利明顯相似的增長感興趣。湯普森認爲很多這種增長的例子，包括黃金矩形和72º等腰三角形，儘管他在第一版構造一個螺旋的三角形（圖6）。他重複莫斯利對鸚鵡螺殼的分析，並指出相鄰螺環的寬度的比率約爲3:1。

圖6：達西·湯普森圍繞72º等腰三角形的對數螺旋

湯普森在考慮植物軸時對丘奇和庫克提出了非常嚴厲的批評，特別是他們隱含的生命論，"丘奇先生在植物軸中看到了一個有機的奧秘，一個我們無法提出任何精確原因的東西......"，他認爲昌西·賴特（Chauncey Wright）是第一個對斐波那契數的意義給出數學解釋的人，並引用了他1871年的論文。[22] 他顯然不知道賴特1859年的論文[23]，或他1856年在古爾德的《天文雜誌》上發表的文章。

從斐波那契數列在葉序上的證據中得出的不同推論有着有趣的對比。賴特是最著名的經驗主義哲學家，他信奉達爾文主義，是形而上學和德國自然哲學學派的有力批評家。對他來說，植物軸是通過自然選擇產生的，是葉子最有效的排列。湯普森認爲，沒有必要援引自然選擇來解釋形態學的所有方面，植物軸只是葉子起源於空間最大的地方的結果。丘奇和庫克一樣，都是自然哲學的傳統，湯普森以這些理由攻擊他。

黃金矩形

儘管弗萊徹的研究[24]是以矩形爲基礎的，但庫克並沒有提到黃金矩形（他在《曲線》的最後一章中引用了弗萊徹的研究）。湯普森將其作爲日數增長的一個例子，但直到1942年版的《論生長與形式》《On growth and Form》，他才展示了一個通過頂點的對數螺旋，類似於他的金三角結構(圖6)。

傑伊·漢比奇（Jay Hambidge）於1902年首次向希臘研究促進會提交了他對帕特農神廟的分析報告（[25]第138頁）。1902年，科爾曼在序言中（日期爲1911年12月1日）指出，他"......是第一批披露貝殼的真正對稱性的學生之一"。[26] 他在《動態對稱，希臘花瓶》一書的開頭，簡要描述了用直角三角形構建的對數螺旋，但繼續說："就設計而言，我們現在可以省去螺旋的曲線了"。他繼續構建特殊的矩形，其中只有一個是黃金矩形（他稱之爲旋轉的矩形），這成爲他在本書其餘部分的分析基礎。這是對通常順序的有趣顛覆，比如彭納森所描述的，螺旋線是由一系列的矩形衍生出來的。

在文獻中，從湯普森開始，與多邊形的黃金分割增長有關的對數螺旋一般是通過頂點構造來說明的（如圖6），這種做法一直延續到現在。[27]在網上搜索黃金螺旋的圖片，幾乎沒有通過矩形頂點的螺旋的例子。幾乎所有的都是與邊相切的（與圖2比較），這表明它們都說明了從圓形四邊形的近似構造。通常情況下，螺旋的極點是由相交的對角線決定的（跟隨漢比奇），對角線是旋轉的螺旋的半徑，以便穿過頂點。

鸚鵡螺

在所有的軟體動物物種中，肯定會有一些具有與庫克的菲迪亞斯螺旋相匹配的外殼，那麼爲什麼鸚鵡螺會被引爲"黃金螺旋"的例子？庫克在《生命的曲線》中關於貝殼中的扁平螺旋的章節中提供了一條線索。他開始說："在貝殼中顯示的所有平面螺旋中，人們早就認識到鸚鵡螺展示了所有螺旋中最美麗的一種，而且與數學曲線非常接近，以至於約翰·萊斯利爵士寫道：'這種螺旋完全類似於鸚鵡螺的一般形式和優雅的隔膜'。" 如果鸚鵡螺是最美麗的，並且你相信φ是衡量美感的標準，那麼就一定有聯繫。最容易構建的對數螺旋（近似地，從圓形四邊形中）是每轉四分之一圈增長φ的係數，從黃金矩形的旋轉方塊中，所以兩者一定是一樣的。顯然，這只是懶惰的想法，而且矩形的構造線足以分散注意力，使兩個螺旋的區別在視覺上不那麼明顯，似乎沒有什麼理由質疑這一論斷。

總結

這個故事的所有部分都起源於19世紀或更早。繪製愛奧尼亞渦旋的方法已經被描述了幾百年；彭羅斯對重要的古典紀念碑進行了詳細的測量，並由他和彭納索恩在整個世紀內用於研究希臘建築的各個方面，後來又由漢比奇使用。貝殼的形狀在19世紀初就被認爲是對數螺旋；在本世紀中葉，有人提出了對螺旋植物軸中斐波那契數的唯物主義解釋；Zeising關於黃金分割的觀點在幾年前就已經發表，Fechner在大約二十年後發展了這些觀點。20世紀初，西奧多·庫克從他確信法國城堡中的一個特定樓梯是由萊奧納多·達·芬奇設計的開始，寫了一本書，激發了人們對螺旋線的興趣，向大衆介紹了對數螺旋線，並宣傳了丘奇的植物軸理論。這刺激了通訊員，特別是威廉·斯金（William Schooling），傳達了關於黃金分割的想法，這些想法可能來自於齊辛和費希納，庫克的第二本書中也引用了這些想法。同時，傑伊·漢比奇根據彭羅斯的測量結果分析了帕特農神廟，並發展了他的動態比例理論，他將其與對數螺旋線聯繫起來。

達西·湯普森在1917年出版了《論生長與形式》，採取了更嚴格的方法，這本有影響力的書更廣泛地傳播了關於形態學的觀點，可能在這個過程中使它們更受尊重。該著作有很大一部分涉及對數螺旋，包括植物軸，並在關於貝殼的章節中提到了黃金部分。參考了丘奇和庫克以前的工作，儘管沒有提出嚴肅的批評。

雖然這些出版物都沒有在一般的對數螺旋和黃金分割的具體數值之間建立明確的聯繫，但有一個非常明顯的想法的關聯，Schooling對《生命的曲線》附錄的貢獻似乎是一個誤印，這加強了這種關聯。由於鸚鵡螺的外殼是自然界中最著名的對數螺旋的例子之一，它與黃金分割相聯繫也許並不奇怪，儘管我仍然無法回答約翰·夏普幾年前問我的一個問題：哪裡首次明確指出鸚鵡螺殼螺旋的參數來自黃金分割？我可以找到的最早的例子是在20世紀80年代。

一旦一種觀念進入大衆意識，它就會保持頑強的存在，而承認它是錯誤的就會被視爲一種挑戰：如果人們相信黃金比例無處不在，而且據說它是鸚鵡螺外殼比例的基礎，這怎麼可能是真的？這似乎是[1]中的論證的動機，在證明了通常的斷言是錯誤的之後，提出了證據來證明外殼每轉半圈就會按照係數φ增長。

真正意想不到的聯繫，例如斐波那契數在葉序中的重要性，可以激發對數學的興趣，並激勵進一步的學習，但教育也應該培養批判性思維的習慣，(與[2]，[3]，[4]和[5]的例子進行比較)。鸚鵡螺號和對數螺線的歷史說明了合理的想法如何會引起誤解，然後不加批判地重複這些誤解，最終導致對明顯錯誤的斷言的接受。它將形成一個指導性的案例研究，與更常見的動機藝術和數學主題一起使用，特別是黃金分割率和斐波那契數。

參考文獻

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[19] T.A.Cook, The Curves of Life, London, 1914.

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[23] C.Wright, The most thorough uniform distribution of points about an axis, The Mathematical Monthly, Vol.1 (April 1859), VII, p. 244.

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[26] S.Colman, Nature's Harmonic Unity, New York, 1912.

[27] A.L.Loeb and W.Varney, Does the Golden Spiral Exist, and if not, Where is its Center? In Spiral Symmetry (eds. I.Hargittai and C.A.Pickover), World Scientific, 1992.

[28] Paul Gailiunas, The Golden Spiral: The Genesis of a Misunderstanding

青山不改，綠水長流，在下告退。

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